离散数学:群的定义及性质

定义

设$<G,\ast >$是代数系统,如果$\ast$在G上满足*_封闭性,可结合性,$<G{,}_{>}$中有幺元,且G中每一个元素均可逆

则称$<G,\ast >$是群

细分定义

(1)设$<G,\ast >$是群,若集合G是有限集,则称$<G,\ast >$是有限群.反之则为无限群

(2)只含有幺元的群叫平凡群

(3)若$\ast$运算时可交换的,则称$<G,\ast >$是交换群或阿贝尔群

性质

群中无零元

:::tip

定理:设$<G,\ast >$是群,如果$|G|\ge 2$ ,则$G$中无零元.

:::

证:

$$\text{反}\text{证}\text{法}\text{假}\text{设}G\text{中}\text{存}\text{在}\text{零}\text{元}\theta ,\forall x\in G,\text{有}\theta \ast x=x\ast \theta =\theta \text{零}\text{元}\text{不}\text{存}\text{在}\text{逆}\text{元},\text{与}\text{定}\text{义}\text{矛}\text{盾},\text{所}\text{以}\text{群}\text{无}\text{零}\text{元}$$

群中每个元素都是可消去元

:::tip

设$<G,\ast >$是个群,则 $\forall a,b,c\in G\text{都}\text{有}$∀a,b,c∈G,如果有

$a\ast b=a\ast c$则 $b=c$

$b\ast a=c\ast a$则 $b=c$

:::

证明:

任取$a,b,c\in G$设有 $a\ast b=a\ast c$

因$<G,\ast >$是个群,所以$a^{-1}\in G$于是有

$$a^{-1}\ast (a\ast b)=a^{-1}\ast (a\ast c)(a^{-1}\ast a)\ast b=(a^{-1}\ast a)\ast ce\ast b=e\ast c$$

所以 $b=c$

群中除幺元外,无其他幂等元

定理

:::tip

设$<G,\ast >$是群,则G中除幺元外,没有其他幂等元.

:::

证明:

设$a\in G$是幂等元,即$a\ast a=a$于是有$a\ast a=a\ast e$,由可消去性有

$a=e$,出现矛盾,所以群中除幺元外,没有其他幂等元

群方程有唯一解

:::tip

设$<G,\ast >$是个群,则$\forall a,b\in G$

(1) $\exists \text{唯}\text{一}x\in G,\text{使}\text{得}a\ast x=b$

(2)$\exists \text{唯}\text{一}y\in G,\text{使}\text{得}y\ast a=b$

:::

证明:

$$\text{因}\text{为}<G,\ast >\text{是}\text{群},\text{对}\forall a,b\in G,\text{有}{a}^{-1}\in G\text{所}\text{以}{a}^{-1}\ast b\in G,\text{将}{a}^{-1}\ast b\text{带}\text{入}(1)\text{中}\text{得}:a\ast x=a\ast (a^{-1}\ast b)=(a\ast a^{-1})\ast b=e\ast b=b\text{所}\text{以}x=a^{-1}\ast b\text{是}\text{方}\text{程}(1)\text{的}\text{解}.\text{设}(1)\text{有}\text{两}\text{个}\text{解},x_1,x_2\in G,\text{于}\text{是}\text{有}a\ast x_1=b,a\ast x_2=b,\text{所}\text{以}a\ast x_1=a\ast x_2,\text{由}\text{可}\text{消}\text{去}\text{性}\text{得}{x}_1=x_2.$$

有限群运算表的特征

定理

:::tip

$<G,\ast >$是有限群,则G中每个元素在$\ast$运算表中的每一个行(列)都必出现且仅出现一次.

:::

$<G,\ast >$是个群,对$\forall a,b\in G$,有

(1) ${(a^{-1})}^{-1}=a$

(2) ${(a\ast b)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$

易证不难,略!

推论

$a^{-n}={(a^n)}^{-1}={(a^{-1})}^n$

规定

$a^0=e$

群的阶与群众元素的阶

群的阶

设$<G,\ast >$是群,如果|G|=n,则称$<G,\ast >$是n阶群,n为群中元素数量,若$n\to \infty$

则$<G,\ast >$为无限群

群众元素的阶

设

$<G,\ast >$是群,$a\in G$,使得 $a^k=e$成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,称a为k阶元.

若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的.

定理

:::tip

设$<G,\ast >$是群,$a\in G$且|a|=k.设n是整数,则

(1) $a^n=e$当且仅当k整除n.

(2) $|a^{-1}|=|a|$

:::

易证不难