--- title: 离散数学:群的定义及性质 abbrlink: 62320 date: "2025-03-22 10:42:08" updated: "2026-07-19" desc: "设$$是代数系统,如果$*$在G上满足\\*_封闭性,可结合性,$$中有幺元,且G中每一个元素均可逆" categories: - 学校学习 tags: - 学习 - 记录 - 离散数学 --- ## 定义 设$$是代数系统,如果$*$在G上满足\*_封闭性,可结合性,$$中有幺元,且G中每一个元素均可逆 则称$$是群 ### 细分定义 (1)设$$是群,**若集合G是有限集**,则称$$是有限群.反之则为无限群 (2)只含有幺元的群叫**平凡群** (3)若$*$运算时可交换的,则称$$是**交换群**或**阿贝尔群** ## 性质 #### 群中无零元 :::tip 定理:设$$是群,如果$|G| \geq 2 $ ,则$G$中无零元. ::: 证: $$ 反证法\\ 假设G中存在零元 \theta , \forall x \in G ,有 \\ \theta * x = x * \theta = \theta \\ 零元不存在逆元,与定义矛盾,所以群无零元 $$ #### 群中每个元素都是可消去元 :::tip 设$$是个群,则 $\forall a,b,c \in G 都有$∀a,b,c∈G,如果有 $a*b=a*c$则 $b=c$ $b*a=c*a$则 $ b = c$ ::: 证明: 任取$a,b,c \in G$设有 $a*b=a*c$ 因$$是个群,所以$a^{-1} \in G$于是有 $$ a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)\\ (a^{-1}*a)*b=(a^{-1}*a)*c\\ e*b=e*c\\ $$ 所以 $b=c$ #### 群中除幺元外,无其他幂等元 定理 :::tip 设$$是群,则G中除幺元外,没有其他幂等元. ::: 证明: 设$a \in G$是幂等元,即$a*a=a$于是有$a*a=a*e$,由可消去性有 $a=e$,出现矛盾,所以群中除幺元外,没有其他幂等元 #### 群方程有唯一解 :::tip 设$$是个群,则$ \forall a,b \in G$ (1) $\exists 唯一 x \in G,使得a*x=b$ (2)$\exists 唯一 y \in G,使得y*a=b$ ::: 证明: $$ 因为是群,对\forall a,b \in G,有a^{-1} \in G\\ 所以a^{-1}*b \in G,将a^{-1}*b带入(1)中得:\\ a*x=a*(a^{-1}*b)=(a*a^{-1})*b=e*b=b\\ 所以x=a^{-1}*b是方程(1)的解.\\ 设(1)有两个解,x_{1},x_{2} \in G,于是有 a*x_1=b,a*x_2=b,所以\\ a*x_1=a*x_2,由可消去性得x_1=x_2. $$ #### 有限群运算表的特征 定理 :::tip $$是有限群,则G中每个元素在$*$运算表中的每一个行(列)都必出现且仅出现一次. ::: --- $$是个群,对$ \forall a,b \in G$,有 (1) $(a^{-1})^{-1}=a$ (2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ 易证不难,**略!** 推论 **$a^{-n}=(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}$** 规定 $a^{0}=e$ ## 群的阶与群众元素的阶 ### 群的阶 设$$是群,如果|G|=n,则称$$是n阶群,n为群中元素数量,若$n \to \infty$ 则$$为无限群 ### 群众元素的阶 设 $$是群,$a \in G$,使得 $a^{k}=e$成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,称a为k阶元. 若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的. 定理 :::tip 设$$是群,$a\in G$且|a|=k.设n是整数,则 (1) $a^{n}=e$当且仅当k整除n. (2) $|a^{-1}|=|a|$ ::: 易证不难 --- **作者：**xingwangzhe **本文链接：**[https://xingwangzhe.fun/posts/62320/](https://xingwangzhe.fun/posts/62320/) 本文采用[知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/)进行许可。