离散数学:代数系统(一)

先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\text{L}\text{A}\text{T}\text{E}\text{X}$

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运算律

可交换性

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\forall x,y\in S,\text{都}\text{有}$ $x\circ y=y\circ x$ $\text{则}\text{称}\circ \text{运}\text{算}\text{是}\text{可交换的}$

可结合性

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\forall x,y,z\in S,\text{都}\text{有}$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $\text{则}\text{称}\circ \text{运}\text{算}\text{是}\text{可结合的}$

分配律

$\text{设}\circ \text{和}\ast \text{为}S\text{上}\text{的}\text{两}\text{个}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\forall x,y,z\in S,\text{都}\text{有}$ $x\circ (y_z)={(x\circ y)}_{(x\circ z)}$ $\text{和}(y_z)\circ x={(y\circ x)}_{(z\circ x)}$ $\text{则}\text{称}\circ \text{运}\text{算}\text{对}\text{*}\text{运}\text{算}\text{满}\text{足}\text{分配律}$

吸收律

$\text{设}\circ \text{和}\ast \text{为}S\text{上}\text{的}\text{两}\text{个}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\forall x,y\in S,\text{都}\text{有}$ $x\circ (x_y)=x$ $\text{和}{x}_{(x\circ y)}=x$ $\text{则}\text{称}\circ \text{和}\text{*}\text{运}\text{算}\text{满}\text{足}\text{吸收律}$

消去律

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\forall x,y,z\in S,\text{当}x\ne z\text{时}$ $x\circ y=x\circ z⟹y=z$ $\text{和}y\circ x=z\circ x⟹y=z$ $\text{则}\text{称}\circ \text{运}\text{算}\text{满}\text{足}\text{消去律}$

如果$\circ$运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

特殊元

幂等元

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\forall x\in S$ ; $x\circ x=x$ $\text{则}\text{称}\circ \text{运}\text{算}\text{适}\text{合}\text{幂等律}$

$\exists x\in S$ ; $x\circ x=x$ 则称$x\text{为}\text{运}\text{算}\circ \text{的}\text{幂等元}$

幺元(单位元)

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\exists e_l(\text{或}{e}_r),\text{使}\text{得}\forall x\in S\text{都}\text{有}$ $e_l\circ x=x(\text{或}x\circ e_r=x)$ $\text{则}\text{称}{e}_l(\text{或}{e}_r)\text{为}S\text{上}\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{的}\text{一}\text{个}\text{左幺元}(\text{或}\text{右幺元)}$ $\text{若}e\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{既}\text{是}\text{左}\text{幺}\text{元}\text{又}\text{是}\text{右}\text{幺}\text{元},\text{则}\text{称}e\text{为}S\text{上}\text{关}\text{于}\text{运}\text{算}\circ \text{的}\text{幺元}$

零元

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}$

$\text{如}\text{果}\exists z_l(\text{或}{z}_r),\text{使}\text{得}\forall x\in S\text{都}\text{有}$ $z_l\circ x=z_l(\text{或}x\circ z_r=z_r)$ $\text{则}\text{称}{z}_l(\text{或}{z}_r)\text{为}S\text{上}\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{的}\text{一}\text{个}\text{左零元}(\text{或}\text{右零元)}$ $\text{若}z\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{既}\text{是}\text{左}\text{零}\text{元}\text{又}\text{是}\text{右}\text{零}\text{元},\text{则}\text{称}z\text{为}S\text{上}\text{关}\text{于}\text{运}\text{算}\circ \text{的}\text{零元}$

特别地，如果$\circ$是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

逆元

$\text{设}\circ \text{为}S\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算}\text{，}\text{且}e\text{为}S\text{上}\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{的}\text{幺}\text{元}$

$\text{如}\text{果}\forall x\in S,\exists y\in S,\text{使}\text{得}$ $y\circ x=e(\text{或}x\circ y=e)$ $\text{则}\text{称}y\text{为}x\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{的}\text{左逆元}(\text{或}\text{右逆元)}$ $\text{若}y\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{既}\text{是}x\text{的}\text{左}\text{逆}\text{元}\text{又}\text{是}\text{右}\text{逆}\text{元},\text{则}\text{称}y\text{为}x\text{关}\text{于}\circ \text{运}\text{算}\text{的}\text{逆元}$

如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于$\circ$运算是可逆的。