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title: 离散数学:代数系统(一)
abbrlink: 26496
date: "2025-03-04 17:49:59"
updated: "2026-07-19"
desc: "先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\\LaTeX{}$"
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    - 学校学习
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    - 学习
    - 离散数学
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先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\LaTeX{}$

[LaTeX - A document preparation system](https://www.latex-project.org/)

## 运算律

## 可交换性

$设\circ为S上的二元运算$

> $如果\forall x, y \in S,都有$
> $ x \circ y = y \circ x $
> $则称\circ运算是\textbf{可交换的}$

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## 可结合性

$设\circ为S上的二元运算$

> $如果\forall x, y, z \in S,都有$
> $ (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z) $
> $则称\circ运算是\textbf{可结合的}$

## 分配律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

> $如果\forall x, y, z \in S,都有$
> $ x \circ (y _ z) = (x \circ y) _ (x \circ z) $
> $和 (y _ z) \circ x = (y \circ x) _ (z \circ x) $
> $则称\circ运算对\*运算满足\textbf{分配律}$

## 吸收律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

> $如果\forall x, y \in S,都有$
> $ x \circ (x _ y) = x $
> $和 x _ (x \circ y) = x $
> $则称\circ和\*运算满足\textbf{吸收律}$

## 消去律

$设\circ为S上的二元运算$

> $如果\forall x, y, z \in S,当x \neq z时$
> $ x \circ y = x \circ z \implies y = z $
> $和 y \circ x = z \circ x \implies y = z $
> $则称\circ运算满足\textbf{消去律}$

> 如果$\circ$运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

## 特殊元

### 幂等元

$设\circ为S上的二元运算$

> $\forall x \in S $ ; $ x\circ x=x$
> $则称\circ运算适合 \textbf{幂等律} $

> $\exists x \in S$ ; $ x\circ x=x$
> 则称$x 为运算\circ 的 \textbf{幂等元}$

## 幺元(单位元)

$设\circ为S上的二元运算$

> $如果\exists e_l(或e_r),使得\forall x \in S 都有$
> $ e_l \circ x =x (或 x \circ e_r =x) $
> $则称e_l(或e_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左幺元}(或\textbf{右幺元)}$
> $若e关于\circ运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算\circ的\textbf{幺元}$

## 零元

$设\circ为S上的二元运算$

> $如果\exists z_l(或z_r),使得\forall x \in S 都有$
> $ z_l \circ x = z_l (或 x \circ z_r = z_r) $
> $则称z_l(或z_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左零元}(或\textbf{右零元)}$
> $若z关于\circ运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算\circ的\textbf{零元}$

> 特别地，如果$\circ$是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

## 逆元

$设\circ为S上的二元运算，且e为S上关于\circ运算的幺元$

> $如果\forall x \in S,\exists y \in S,使得$
> $ y \circ x = e (或 x \circ y = e) $
> $则称y为x关于\circ运算的\textbf{左逆元}(或\textbf{右逆元)}$
> $若y关于\circ运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于\circ运算的\textbf{逆元}$

> 如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于$\circ$运算是可逆的。


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**作者：**xingwangzhe

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