离散数学:半群,独异点

半群定义,独异点定义

设 $S$是非空集合,$\ast$是$S$上的二元运算,如果$\ast$在$S$上满足封闭性 可结合性 ,则称$<S,\ast >$是半群

独异点定义

设$<M,\ast >$是个半群,如果$\ast$运算有幺元,,则称$<M,\ast >$是独异点,也称它为含幺半群

可交换半群

设$<M,\ast >$是个半群,如果$\ast$运算是可交换的,,则称$<M,\ast >$是可交换半群

可交换独异点

设$<M,\ast >$是个独异点,如果$\ast$运算是可交换的,,则称$<M,\ast >$是**可交换独异点

子半群

设$<S,\ast >$是个半群,$B\in S$,如果$\ast$在$B$上封闭,则称$<B,\ast >$是$<S,\ast >$的子半群

子独异点

设$<S,\ast >$是个独异点,$B\in S$,如果$\ast$在$B$上封闭,且幺元$e\in B$,则称$<B,\ast >$是$<S,\ast >$的子独异点

定理

$<M,\ast >$是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则$<A,\ast >$是$<M,\ast >$的子独异点**

:::tip

显然$A\in M$,只需证明幺元$e\in A$,以及封闭性即可!

:::

证明:

(1)证$e\in A$

因为 $e\ast e=e$,e是幂等元,由题意,$e\in A$

(2) 证$\ast$在A上封闭

任取 $a,b\in A$,于是

$$a\ast a=a,b\ast b=b(a\ast b)\ast (a\ast b)=(a\ast a)\ast (b\ast b)=a\ast b\text{在}A\text{上}\text{封}\text{闭}(\text{幂}\text{等}\text{元}),\text{所}\text{以}a\ast b\in A$$

定理得证