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title: 离散数学:半群,独异点
abbrlink: 25427
date: "2025-03-22 10:02:59"
updated: "2026-07-19"
desc: "设 $S$是非空集合,$*$是$S$上的二元运算,如果$*$在$S$上满足封闭性 可结合性 ,则称$<S,*>$是半群"
categories:
    - 学校学习
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    - 学习
    - 抽象
    - 离散数学
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## 半群定义,独异点定义

设 $S$是非空集合,$*$是$S$上的二元运算,如果$*$在$S$上满足**封闭性** **可结合性** ,则称$<S,*>$是**半群**

### 独异点定义

设$<M,*>$是个半群,**如果$*$运算有幺元**,,则称$<M,*>$是**独异点**,也称它为**含幺半群**

### 可交换半群

设$<M,*>$是个半群,**如果$*$运算是可交换的**,,则称$<M,*>$是**可交换半群**

### 可交换独异点

设$<M,*>$是个独异点,**如果$*$运算是可交换的**,,则称$<M,*>$是\*\*可交换独异点

### 子半群

设$<S,*>$是个半群,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子半群

### 子独异点

设$<S,*>$是个独异点,$B\in S$,如果$*$在$B$上封闭,且幺元$e \in B$,则称$<B,*>$是$<S,*>$的子独异点

<!--more-->

## 定理

**$<M,*>$是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则$<A,*>$是$<M,*>$的子独异点\*\***

:::tip

显然$A \in M$,只需证明幺元$e \in A$,以及封闭性即可!

:::

证明:

(1)证$e \in A$

因为 $e * e =e $,e是幂等元,由题意,$e \in A$

(2) 证$*$在A上封闭

任取 $a,b \in A$,于是

$$
a * a =a , b*b=b \\

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)=a*b \\
在A上封闭(幂等元),所以 a*b \in A
$$

定理得证


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**作者：**xingwangzhe

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