离散数学:环与域

环定义

给定代数系统$<A,+,\ast >,+\text{和}\ast \text{是}A\text{上}\text{的}\text{二}\text{元}\text{运}\text{算},\text{若}\text{满}\text{足}\text{下}\text{面}\text{条}\text{件}$

$(1)<A,+>\text{是}\text{交}\text{换}\text{群}$

$(2)<A,\ast >\text{是}\text{半}\text{群}$

(3)$\begin{array}{l}\ast \text{对}+\text{可}\text{分}\text{配}.\text{即}\text{对}\text{任}\text{何}a,b,c\in A,\text{有}\\ a\ast (b+c)=(a\ast b)+(a\ast c)\text{及}(a+b)\ast c=(a\ast c)+(b\ast c)\end{array}$

则称$<A,+,\ast >$是环

环运算法则

设$<A,+,\ast >\text{是}\text{环},\text{任}\text{意}a,b,c\in A$,约定:

$\text{对}+:\text{幺}\text{元}\text{用}0\text{表}\text{示},a\text{的}\text{逆}\text{元}\text{用}-a\text{表}\text{示};$

$\text{对}\ast :\text{幺}\text{元}\text{用}1\text{表}\text{示},a\text{的}\text{逆}\text{元}\text{用}{a}^{-1}\text{表}\text{示};$

$\text{将}a+(-b)\text{记}\text{为}a-b$

定理

:::tip

设$<A,+,\ast >\text{是}\text{环},\text{任}\text{意}a,b,c\in A$

$(1)a\ast 0=0\ast a=0(+\text{的}\text{幺}\text{元},\text{恰}\text{是}\ast \text{的}\text{零}\text{元})$

$(2)(-a)\ast b=a\ast (-b)=-(a\ast b)=-a\ast b$

$(3)(-a)\ast (-b)=a\ast b$

$(4)a\ast (b-c)=(a\ast b)-(a\ast c)=a\ast b-a\ast c$

$(5)(a-b)\ast c=a\ast c-b\ast c$

易证不难

:::

零因子

设$<A,+,\ast >\text{是}\text{环},+\text{运}\text{算}\text{的}\text{幺}\text{元}0,\text{恰}\text{是}\ast \text{运}\text{算}\text{的}\text{零}\text{元},\text{称}0\text{是}\text{环}\text{的}\text{零}\text{元}$

显然 若a=0或b=0,则$a\ast b=0$

反之 则不一定

定义:

$\begin{array}{l}\text{设}<A,+,\ast >\text{是}\text{环}\\ \text{有}a,b\in A\\ \text{使}\text{得}a≠b\vee b≠0\\ \text{但}a\ast b=0\\ \text{则}\text{称}a,b\text{是}\text{零}\text{因}\text{子}\end{array}$

特殊环

$(1)\text{若}\ast \text{满}\text{足}\text{交}\text{换}\text{律},\text{则}\text{称}<A,+,\ast >\text{是}\text{交}\text{换}\text{环}$

$(2)\text{若}<A,\ast >\text{存}\text{在}\text{幺}\text{元},\text{则}\text{称}<A,+,\ast >\text{是}\text{含}\text{幺}\text{环}$

$(3)\text{若}\forall a,b\in A,a\ast b=0=>a=0\vee b=0,\text{则}\text{称}<A,+,\ast >\text{是}\text{无}\text{零}\text{因}\text{子}\text{环}.$

$(4)\text{若}<A,+,\ast >\text{是}\text{交}\text{换}\text{环},\text{含}\text{幺}\text{环},\text{无}\text{零}\text{因}\text{子}\text{环},\text{则}\text{称}<A,+,\ast >\text{是}\text{整}\text{环}$

$(5)\text{若}<A-0,\ast >\text{是}\text{交}\text{换}\text{群},\text{则}\text{称}<A,+,\ast >\text{是}\text{域}$

定理

:::tip

$<A,+,\ast >\text{是}\text{无}\text{零}\text{因}\text{子}\text{环},\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}\text{运}\text{算}\ast \text{满}\text{足}\text{可}\text{消}\text{去}\text{性}$

:::

:::tip

$设<A,+,*>是域,则A中无零因子.

:::

:::tip

域必是整环

:::

:::tip

有限整环一定是域

:::