离散数学:子群及其证明

子群的定义

设$<G,\ast >$是群,S是G的非空子集,如果$<S,\ast >$满足:

(1) 对 $\forall a,b\in S$均有$a\ast b\in S$ (封闭性)

(2) 幺元$e\in S$ (有幺元)

(3) 对 $\forall a\in S$,有$a^{-1}\in S$ (可逆)

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显而易见,结合性不证自明,略

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则称$<S,\ast >$是$<G,\ast >$的子群

任何群$<G,\ast >$都存在子群,**$<e,\ast >,<G,\ast >$**都是$<G,\ast >$的子群,称为$<G,\ast >$的平凡子群.

证明方法

1.定义证明

即证明,运算在非空子集上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆

2.定理证明

定理

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$\text{设}<G,\ast >\text{是}\text{群},B\text{是}G\text{的}\text{有}\text{限}\text{子}\text{集},\text{如}\text{果}\ast \text{在}B\text{上}\text{满}\text{足}\text{封}\text{闭}\text{性},\text{则}<B,\ast >\text{是}<G,\ast >\text{的}\text{子}\text{群}$

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证明:

(1)先证明幺元$e\in B$

$\text{任}\text{取}b\in B,\text{因}\text{为}\ast \text{在}B\text{上}\text{封}\text{闭},\text{所}\text{以}\text{对}\text{任}\text{意}i\ge 1,\text{有}{b}^i\in B,\text{因}i\text{可}\text{以}\text{取}\text{无}\text{穷}\text{多}\text{个}\text{值},\text{而}B\text{中}\text{元}\text{素}\text{个}\text{数}\text{有}\text{限},\text{所}\text{以}\text{必}\text{然}\text{存}\text{在}\text{正}\text{整}\text{数}i,j(i<j),\text{使}\text{得}{b}^i=b^j,j-i\ge 1,\text{所}\text{以}{b}^{j-i}\in B.\text{因}\text{为}<G,\ast >\text{是}\text{群},\text{于}\text{是}{b}^{-1},{(b^i)}^{-1}\in G,\text{于}\text{是}{b}^{j-i}=b^j\ast {(b^{-1})}^i=b^i\ast {(b^i)}^{-1}=e,\text{而}{b}^{j-i}\in B,\text{所}\text{以}e\in B.$

(2) 在证B中每个元素均可逆

$\begin{array}{l}\text{任}\text{取}b\in B\text{由}(1)\text{可}\text{知}{b}^{j-i}=e(j-i\ge 1)\\ (1)\text{如}\text{果}j-i=1,\text{则}{b}^{j-i}=b=e,\text{即}{b}^{-1}=b,\text{于}\text{是}{b}^{-1}\in B.\\ (2)\text{如}\text{果}j-i>1,\text{有}{b}^{j-i-1}\in B,\text{而}b\ast b^{j-i-1}=b^{j-i-1}\ast b=b^{j-i}=e,\text{即}{b}^{-1}=b^{j-i-1},\text{于}\text{是}{b}^{-1}\in B\end{array}$

:::tip

设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对$\forall a,b\in S$,均有$a\ast b^{-1}\in S$则$<S{,}_{>}\text{是}<G{,}_{>}$的子群

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$$(1)\text{先}\text{证}\text{幺}\text{元}(e\in S)\text{任}\text{取}(a\in S)\text{，}\text{由}\text{已}\text{知}\text{得}(a\ast a^{-1}\in S)\text{。}\text{而}(a\ast a^{-1}=e)\text{，}\text{即}(e\in S)\text{。}(2)\text{再}\text{证}\text{明}(S)\text{中}\text{任}\text{意}\text{元}\text{素}\text{均}\text{可}\text{逆}\text{任}\text{取}(b\in S)\text{，}\text{由}(1)\text{知}\text{，}(e\in S)\text{。}\text{再}\text{由}\text{已}\text{知}\text{得}(e\ast b^{-1}\in S)\text{，}\text{而}(e\ast b^{-1}=b^{-1})\text{。}\text{即}{b}^{-1}\in S(3)\text{最}\text{后}\text{证}\text{明}<S,\ast >\text{是}\text{封}\text{闭}\text{的}\text{任}\text{取}a,b\in S,\text{由}(2)\text{知}{b}^{-1}\in S,\text{由}\text{已}\text{知}\text{得}a\ast {(b^{-1})}^{-1}\in S,\text{即}a\ast \text{吧}\in S\text{综}\text{上},<S,\ast >\text{是}<G,\ast >\text{的}\text{子}\text{群}$$