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计算机组成原理第二章 - 定点数与浮点数

📚 基础知识回顾

1. 🔄 数的进制转换

1.1 十进制转其他进制

🎯 核心方法：

• 整数部分：除基数取余法
• 小数部分：乘基数取整法

📝 十进制转二进制（整数）

方法：除 2 取余法，余数倒序排列

示例：${(42)}_{10}\to {(?)}_2$

$$\begin{array}{cc}42÷2& =21\cdots 0\\ 21÷2& =10\cdots 1\\ 10÷2& =5\cdots 0\\ 5÷2& =2\cdots 1\\ 2÷2& =1\cdots 0\\ 1÷2& =0\cdots 1\end{array}$$

✅ 结果： ${(42)}_{10}={(101010)}_2$

📝 十进制转十六进制

示例：${(255)}_{10}\to {(?)}_{16}$

$$\begin{array}{cc}255÷16& =15\cdots {15}_{(F)}\\ 15÷16& =0\cdots {15}_{(F)}\end{array}$$

✅ 结果： ${(255)}_{10}={(FF)}_{16}$

1.2 其他进制转十进制

🎯 核心公式：

$N={\sum }_{i=-m}^n{d}_i\times r^i$

其中：$r$ 为基数，$d_i$ 为各位数字，$i$ 为权值

📝 示例1： ${(1011.01)}_2\to {(?)}_{10}$

$$\begin{array}{cc}& =1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}\\ & =8+0+2+1+0+0.25\\ & ={(11.25)}_{10}\end{array}$$

📝 示例2： ${(2A.F)}_{16}\to {(?)}_{10}$

$$\begin{array}{cc}& =2\times {16}^1+10\times {16}^0+15\times {16}^{-1}\\ & =32+10+0.9375\\ & ={(42.9375)}_{10}\end{array}$$

1.3 小数转换详解

📝 示例： ${(13.625)}_{10}\to {(?)}_2$

整数部分： ${13}_{10}={1101}_2$

小数部分（乘2取整法）：

$$\begin{array}{cc}0.625\times 2& =1.25\text{取整：}1\\ 0.25\times 2& =0.5\text{取整：}0\\ 0.5\times 2& =1.0\text{取整：}1\end{array}$$

✅ 结果： ${(13.625)}_{10}={(1101.101)}_2$

2. 🔢 负数表示方法

2.1 原码、反码、补码对比

📝 示例（8位）：

2.2 补码的优势

⚡ 关键优势：

1. 零的唯一表示
2. 加减法运算统一
3. 硬件实现简单
4. 表数范围最大

📝 补码范围： $n$ 位补码表示范围为 $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$

🎯 定点数表示

1. 📖 定点数基础概念

1.1 定义与分类

🔑 定点数： 小数点位置固定的数值表示方法

💾 存储格式： 符号位(1位) + 数值位(n位) = 总长度 $n+1$ 位

1.2 关键特性对比

2. 📊 定点数表示范围

2.1 定点小数（纯小数）

📋 范围对比表：

📝 示例（8位定点小数，$n=7$）：

• 补码范围： $[-1.0000000,+0.1111111]$ 即 $[-1,0.9921875]$

2.2 定点整数（纯整数）

📋 范围对比表：

📝 示例（8位定点整数，$n=7$）：

• 补码范围： $[-128,+127]$

3. 🔄 数制转换详解

3.1 十进制 → 二进制定点数

🎯 定点小数转换步骤：

📝 示例： ${0.625}_{10}\to 8$位定点小数

$$\begin{array}{cc}0.625\times 2& =1.25\text{取整：}1,\text{余：}0.25\\ 0.25\times 2& =0.5\text{取整：}0,\text{余：}0.5\\ 0.5\times 2& =1.0\text{取整：}1,\text{余：}0\end{array}$$

✅ 结果： ${0.625}_{10}={0.101}_2=0{1010000}_{\text{补}}$

🎯 定点整数转换：

📝 示例： $5_{10}\to 8$位定点整数

步骤： $5_{10}={101}_2\to 0{0000101}_{\text{补}}$

3.2 二进制定点数 → 十进制

🎯 定点小数转换公式：

$X={\sum }_{i=1}^n{b}_i\times 2^{-i}$

📝 示例： $1{0110000}_{\text{补}}$ → 十进制

步骤：

1. 符号位为1，表示负数
2. 数值位：$0110000$
3. 按权展开：$0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+0+\cdots =0.25+0.125=0.375$
4. 补码转换：先减1得反码 $10001111$，再取反得原码 $11110000$
5. 结果： $-0.875$

🎯 定点整数转换公式：

$X={\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i\times 2^i$

3.3 编码转换规则

🔄 原码 ↔ 补码：

📝 示例： $-5$ 的编码转换（8位）

$$\begin{array}{cc}\text{原码：}& 10000101\\ \text{反码：}& 11111010\\ \text{补码：}& 11111011\end{array}$$

4. ⚡ 定点数运算

4.1 补码加减法

🎯 运算规则：

${[A\pm B]}_{\text{补}}={[A]}_{\text{补}}\pm {[B]}_{\text{补}}$

📝 示例： $(-5)+3$（8位）

$$\begin{array}{cc}-5:& 11111011\\ +3:& 00000011\\ \text{和}:& 11111110=-2\end{array}$$

4.2 溢出检测

⚠️ 溢出判断方法：

1. 进位标志法： $V=C_{n-1}\oplus ︎C_n$
2. 符号检测法： 同号相加结果异号

📝 溢出示例： $127+1$（8位补码）

$$\begin{array}{cc}127:& 01111111\\ +1:& 00000001\\ \text{和}:& 10000000=-128\text{（溢出）}\end{array}$$

检测： $C_6=1,C_7=0\Rightarrow C_6\oplus ︎C_7=1$ → 溢出

5. 💼 定点数应用场景

🌊 浮点数表示

1. 🔬 浮点数核心概念

1.1 通用表示形式

🎯 浮点数公式：

$N={(-1)}^S\times M\times R^E$

参数说明：

• $S$：符号位（0=正，1=负）
• $M$：尾数（有效数字）
• $E$：阶码（指数）
• $R$：基数（通常为2）

1.2 IEEE 754标准

📋 单精度（32位）格式：

📋 双精度（64位）格式：

📝 转换示例： $-{0.75}_{10}$ → IEEE 754单精度

步骤：

1. $-{0.75}_{10}=-{0.11}_2=-{1.1}_2\times 2^{-1}$
2. $S=1$（负数）
3. $E=126$（$127-1$）
4. $M=10000000000000000000000$

✅ 结果： 1 01111110 10000000000000000000000

2. 📏 浮点数规格化

2.1 规格化条件

🎯 规格化要求：

$\frac{1}{R}\le |M|<1\text{（二进制：}0.5\le |M|<1\text{）}$

📋 补码尾数规格化形式：

2.2 规格化判断表

3. 📈 浮点数表示范围

3.1 IEEE 754单精度范围

3.2 溢出处理

4. 🔢 阶码与移码

4.1 移码定义

🎯 移码公式：

${[X]}_{\text{移}}=2^n+X(-2^n\le X\le 2^n-1)$

💡 移码特性：

• 零的移码为 $10\cdots 0$
• 真值与移码单调递增
• 便于大小比较

4.2 移码对照表

📋 8位移码示例（$n=7$，偏移量=128）：

5. ⚙️ 浮点数运算

5.1 加减运算流程

5.2 运算步骤详解

🔄 步骤1：对阶（小阶向大阶看齐）

📝 示例： $X=2^3\times 0.1101$，$Y=2^5\times 0.1010$

• 阶差：$5-3=2$
• X尾数右移2位：$X^{\prime }=2^5\times 0.001101$

➕ 步骤2：尾数加减

${[M_X]}_{\text{补}}+{[M_Y]}_{\text{补}}=00.001101+11.0110=11.100101$

📏 步骤3：规格化

• 结果：$11.100101$ → 左规1位 → $11.001010$（阶码-1）

🔄 步骤4：舍入

• 0舍1入：$11.001010\to 11.00101$

⚠️ 步骤5：溢出判断

• 检查阶码是否超出范围

5.3 典型运算示例

📝 题目： $X=2^7\times \frac{29}{32}$，$Y=2^5\times \frac{5}{8}$，求$X+Y$

条件： 阶码5位，尾数7位（含符号位）

解答过程：

1. 对阶：

   • ${[X]}_{\text{补}}=0011100.11101$
   • ${[Y]}_{\text{补}}=0011100.0010100$

2. 尾数运算：

   • $00.11101+00.00101=01.00010$ → 尾数溢出

3. 右规处理：

   • 尾数：$00.10001$，阶码+1 → $0100000.10001$

4. 溢出判断：

   • 阶码$01000$超出5位最大值$01111$ → 上溢

6. 🚨 浮点数特殊值

📋 IEEE 754特殊值编码：

7. ⚠️ 浮点数运算误差

7.1 误差来源

7.2 误差控制方法

• 🎯 双精度运算： 提高尾数精度
• 📊 误差分析： 估算精度损失
• 🔧 特殊算法： Kahan求和等

📝 精度损失示例：

$1.0+2^{-24}=1.0+0.0000000596\cdots \approx 1.0\text{（单精度丢失）}$

📝 重要公式总结

🎯 核心公式速查

| 类别 | 公式 | 说明 | | –––––––––– | ———————————————— | –––––––– | –– | ———— | | 进制转换 | $N={\sum }_{i=-m}^n{d}_i\times r^i$ | 任意进制转十进制 | | 浮点数 | $N={(-1)}^S\times M\times 2^{E-\text{偏移量}}$ | IEEE 754标准 | | 补码范围 | $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$ | n位补码表示范围 | | 定点小数（原码） | $[-(1-2^{-n}),(1-2^{-n})]$ | 原码小数范围 | | 定点小数（补码） | $[-1,(1-2^{-n})]$ | 补码小数范围 | | 定点整数（补码） | $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$ | 补码整数范围 | | 溢出检测 | $V=C_{n-1}\oplus ︎C_n$ | 补码溢出判断 | | 移码转换 | ${[X]}_{\text{移}}=2^n+X$ | 移码公式 | | 规格化条件 | $0.5\le |M|<1$ | 二进制规格化 |

🔍 重要常数

📚 复习要点

⭐ 重点掌握

1. 🔄 进制转换： 熟练掌握各种进制间的转换方法
2. ⚡ 补码运算： 理解补码的优势和运算规则
3. 📏 定点数范围： 记住不同编码的表示范围
4. 🌊 浮点数格式： 掌握IEEE 754标准格式
5. ⚙️ 浮点运算： 理解五步运算流程
6. ⚠️ 溢出检测： 掌握各种溢出判断方法

🎯 常考题型

• 进制转换计算
• 原码/反码/补码互转
• 定点数运算与溢出判断
• IEEE 754格式转换
• 浮点数加减运算
• 特殊值识别

💡 记忆技巧

• 补码优势： “统一运算，唯一零值”
• 浮点运算： “对阶→加减→规格→舍入→溢出”
• IEEE 754： “1+8+23=32位单精度，1+11+52=64位双精度”