离散数学:子群的陪集及拉格朗日定理

子群的陪集

定义

设$<H,\ast >$是群$<G,\ast >$的子群,$a\in G$,定义集合

$aH=\{a\ast h|h\in H\}$

$Ha=\{h\ast a|h\in H\}$

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

定理

$<H,\ast >\text{是}\text{群}<G,\ast >\text{的}\text{子}\text{群},\text{任}\text{何}a,b\in G,\text{有}$

$(1)aH=bH\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a\in bH$

$(2)aH\cap bH=⌀\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a\notin bH$

证明(1)

(1)必要性

已知,aH=bH,因$e\in H$,于是$a=a\ast e\in aH$

(2)充分性

设$a\in bH$,先证$aH\subseteq bH$

设,任意$x\in aH$,于是有$\begin{array}{l}{h}_1\in H\\ \text{使}\text{得}x=a\ast h_1\\ \text{由}\text{于}a\in bH,\text{于}\text{是}\text{有}{h}_2\in H\\ \text{使}\text{得}a=b\ast h_2\\ \text{于}\text{是}x=(b\ast h_2)\ast h_1=b\ast (h_2\ast h_1)\\ \text{由}<H,\ast >\text{是}\text{群},h_2\ast h_1\in H,\text{于}\text{是}x\in bH,\text{所}\text{以}aH\subseteq bH\\ \text{同}\text{理}\text{可}\text{证}bH\subseteq aH,\text{于}\text{是}aH=bH\end{array}$,

证明(2)

a) 必要性，已知 $aH\cap bH=⌀$，假设 $a\in bH$

由于 $e\in H$，于是 $a=a\star e\in aH$

于是 $a\in aH\cap bH$，与 $aH\cap bH=⌀$ 矛盾，所以 $a\notin bH$。

b) 充分性，已知 $a\notin bH$，（往证 $aH\cap bH=⌀$）

假设 $aH\cap bH\ne ⌀$，则至少有 $x\in aH\cap bH$

于是 $x\in aH$ 且 $x\in bH$，即存在 $h_1,h_2\in H$ 使得 $x=a\star h_1$，$x=b\star h_2$

于是 $a\star h_1=b\star h_2$。又 $h_1^{-1}\in H$，所以 $a=b\star (h_2\star h_1^{-1})$，而 $h_2\star h_1^{-1}\in H$

于是 $a\in bH$，与 $a\notin bH$ 矛盾。因此 $aH\cap bH=⌀$

定理2

设$<H,\ast >\text{是}\text{群}<G,\ast >\text{的}\text{子}\text{群},\text{对}\text{任}\text{何}a\in G,a$必属于且仅属于一个陪集

设$<G,\ast >\text{是}\text{有}\text{限}\text{群},<H,\ast >\text{是}\text{群}<G,\ast >\text{的}\text{子}\text{群},b\in G,bH\text{为}<H,\ast >\text{的}\text{左}\text{陪}\text{集}$,则bH中的任何两个元素都不相同

拉格朗日定理

设$\begin{array}{l}<G,\ast >\text{是}\text{有}\text{限}\text{群}\\ |G|=n,<H,\ast >\text{是}<G,\ast >\text{的}\text{任}\text{意}\text{子}\text{群}\\ \text{且}|H|=m,\text{则}n=km,(k\in I)\end{array}$

拉格朗日定理说明:

子群的阶数,是群阶数的因子

推论1

$<G,\ast >\text{是}n\text{阶}\text{群},\text{则}\text{对}\text{任}\text{意}\text{的}a\in G,|a|\text{必}\text{是}n\text{的}\text{银}\text{子},\text{且}{a}^n=e$